Objetos geométricos en la clasificación analítica de ecuaciones diferenciales y sus foliaciones

Las soluciones de una ecuación diferencial analítica definen una partición del espacio por curvas que no se cortan entre sí. Se dice que dicha partición define una foliación por curvas. Cuando la ecuación diferencial tiene puntos singulares, se tiene una foliación por curvas con singularidades. El análisis de las ecuaciones diferenciales en vecindades de sus puntos singulares arroja información local sustancial sobre el comportamiento de la foliación (local o global) que definen; es por ello que la clasificación de éstas ha sido tarea recurrente desde tiempos de Poincaré.

Al paso del tiempo, ha podido saberse que algunos elementos geométricos se encuentran codificados, por lo menos en una primera instancia, en el tipo de singularidad. Para entender a profundidad estos elementos y rescatar de ellos información suficiente que permita clasificar a la ecuación, es necesario considerar parejas de ecuaciones diferenciales; es decir, en el abierto a considerar, se tendrán dos foliaciones de diferentes tipos con las que nos ayudaremos a dar sistemas coordenados en ciertas regiones. En los lugares en los que las foliaciones sean tangentes, dicho sistema coordenado no podrá ser definido de la misma forma, sin embargo, como si fuera un tesoro escondido, los lugares de tangencias aportarán información fundamental para dicha clasificación.