Problema 16 de Hilbert en deformaciones de ecuaciones hamiltonianas

La segunda parte del problema 16 de Hilbert pide dar una cota superior para el número de ciclos límite (órbitas periódicas aisladas de otras órbitas periódicas) que una ecuación diferencial polinomial plana puede tener, en función del grado.  A más de 100 años, este problema continúa abierto incluso para grado 2.  Mediante deformaciones de ecuaciones hamiltonianas se puede dar una aproximación al problema, estudiando el número de ciclos límite que surgen con deformaciones polinomiales. Los ceros de la función de desplazamiento determinan a los ciclos límite de la deformación, y los ceros de la primera función de Poincaré-Pontriaguin-Melnikov no idénticamente nula, en el desarrollo en series de potencias de la función de desplazamiento, dan una cota superior de éstos (en vecindades de valores regulares). Estas funciones están constituidas por integrales abelianas e integrales iteradas. La longitud de las integrales iteradas que pueda haber en la función de Poincaré-Pontriaguin-Melnikov, está relacionada con el número de ciclos límite que pueden surgir, y esta longitud a su vez está relacionada con la topología de las superficie regular definida por el hamiltoniano (como función de C^2 en C) y con la órbita por monodromía de ciclos en la superficie.  En esta plática abordaremos este enfoque, también conocido como versión infinitesimal del problema 16 de Hilbert, así como la versión infinitesimal del problema de centro-foco, que se define en paralelo. Particularmente, veremos ciertos casos no genéricos, en los que el comportamiento que tienen las ecuaciones en la recta al infinito está relacionado con la longitud de las integrales iteradas que aparecen en la función de Poincaré-Pontriaguin-Melnikov.