La manifestación del teorema de los ceros de Hilbert en la cohesión axiomática de Lawvere

Resumen:

Para estudiar una categoría E de objetos "geométricos" la  Cohesión Axiomática [1] propone considerar una subcategoría S de objetos `discretos' tal que la inclusión S-->E tenga adjuntos a derecha e izquierda, digamos, R y L:E --> S. Algunos de los axiomas permiten intuir que R X es el conjunto de `puntos' de X, mientras que L X es el conjunto de `componentes conexas' o `pedazos' de X. Por motivos elementales existe una transformación natural R --> L de modo que para todo X en E se tiene un morfismo R X --> L X que, intuitivamente, le asigna a cada punto de X el pedazo en el que se encuentra.

Uno de los ejemplos más importantes de la Cohesión Axiomática es la geometría algebraica sobre un cuerpo no necesariamente algebraicamente cerrado. El propósito de esta charla es, además de introducir la Cohesión Axiomática, explicar de qué manera, el Teorema de los Ceros de Hilbert puede interpretarse como la afirmación de que todo R X --> L X es epimórfica; en otras palabras: todo pedazo tiene un punto. (Los únicos pre-requisitos son la definición de transformación natural y la formulación clásica del Teorema de los Ceros de Hilbert.)

[1] Lawvere, F. L. Axiomatic Cohesion, Theory and Applications of Categories 19, 2007.
[2] Tholen, W. Variations on the Nullstellensatz. Unpublished.