Un índice de campos vectoriales en conjuntos reales analíticos definidos por funciones mixtas

Una función mixta es una función real analítica \(f\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}\) en las variables complejas \(z_1,\dots,z_n\) y sus conjugados \(\bar{z}_1,\dots,\bar{z}_n\). En esta plática definimos un índice con valores enteros para un campo vectorial \(v\) con una singularidad aislada en \(\mathbf{0}\) sobre variedades reales analíticas \(V_f:=f^{-1}(0)\) definidas por funciones mixtas \(f\) con un punto crítico aislado en \(\mathbf{0}\). Llamamos a este índice el índice GSV mixto y generaliza al índice GSV clásico definido por Gómez-Mont, Seade y Verjovsky, es decir, si la función \(f\) es holomorfa, entonces el índice GSV mixto coincide con el índice GSV. Además, el índice GSV mixto es un levantamiento a \(\mathbb{Z}\) del índice GSV real, el cual tiene valores en \(\mathbb{Z}_2\) y fue definido por Aguilar, Seade y Verjovsky.

Como aplicaciones se tiene que el índice GSV mixto es igual al índice de Poincaré-Hopf de \(v\) en una fibra de Milnor. Si \(f\) también satisface la condición de Milnor fuerte, es decir, para toda \(\epsilon>0\) suficientemente pequeña, la aplicación \(f/|f|\colon \mathbb{S}_\epsilon \setminus L_f \to \mathbb{S}^1\) es un haz fibrado, el índice GSV mixto es igual a la curvatura íntegra de \(f\) definida por Cisneros-Molina, Grulha y Seade basados en la curvatura integra definida por Kervaire.