Politopos convexos y teoría de Ehrhart

En esta charla mostraremos cómo la combinatoria puede servir como puente entre lo discreto y lo continuo a través de un problema de conteo en politopos convexos. Iniciaremos con una introducción a estos objetos, definiéndolos y explorando algunas de sus propiedades fundamentales. Luego, presentaremos el problema central: el número de puntos reticulares en dilataciones enteras de estos objetos, conocido como teoría de Ehrhart. Este problema se aborda mediante un método de conteo basado en la descomposición del politopo en simplejos y conos, utilizando como herramienta principal las funciones generatrices. Culminaremos con el Teorema de Ehrhart, que generaliza el Teorema de Pick y muestra cómo este proceso da lugar a una función polinomial que determina el volumen del objeto.