No existencia y unicidad de breathers para la Ecuación de Zakharov-Kuznetsov

En esta plática consideramos la ecuación modificada de Zakharov-Kuznetsov (mKdVG) en dimensión \(N\geq1\):
\begin{equation} 
u_{t}+(\Delta u+2u^{3})_{x}=0,
\end{equation}
donde \(u=u(x,t)\) es una función real valuada, donde \(t\in \mathbb{R}\) y \(x\in\mathbb{R}^{N}\).

Un caso especial de esta ecuación es la ecuación modificada de Korteweg-de Vries (mKdV):
\begin{equation}\label{mKdV}
u_t(t,x) + 6u^{2}(t,x)u_{x}(t,x)+u_{xxx}(t,x)=0, \ \ \ (t,x)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}.
\end{equation}

Esta ecuación posee soluciones llamadas “breathers”, las cuales son periódicas en tiempo y tienen patrones espacialmente localizados. Si
\(\alpha,\beta >0\), \(\gamma:=3\beta^2- \alpha^2\), \(\delta:=3\alpha^2- \beta^2\), la ecuación (mKdV) tiene soluciones de tipo breather que están dadas por:
\begin{equation} \label{anzata}
u=B(t,x;\alpha,\beta,x_1,x_2)= 2\sqrt{2} \partial_x \arctan \left( \frac{\beta}{\alpha} \frac{\sin (\alpha(x+\delta t +x_1))}{\cosh(\beta (x+\gamma t+x_2))}\right)
\end{equation}
Se dice que una función \(u:\mathbb{R}^{N}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) es un breather quasimonocromático si tiene la forma
\begin{equation} \label{anzat}
u(t,x)= \partial_xF(p(x,t)\sin (\alpha(x+m t))) \ \ \ \
\end{equation}
aquí \(m\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) y \(F\in C^{2}(\mathbb{R})\), \(p\in C^{2}(\mathbb{R}^{N})\) son tales que \(F(0)=0\) y \(p(x)\rightarrow 0\) cuando \(|x|\rightarrow \infty\). Note que si \(N=1\), entonces la solución \(u\) es un breather quasimonocromático.

Es natural preguntarse que tipos de funciones \(p(x,t)\) y \(F(z)\) existen para los cuales \(u\) es una solución de la ecuación (mKdVG).

En esta charla presentaremos resultados de no existencia y unicidad de Breathers quasimonocromáticos para la ecuación de Zakharov-Kuznetsov y la de Korteweg-de Vries. Estos resultados fueron elaborados en conjunto con P. Figueroa, C, Muños, y F. Poblete.

Los datos para la reunión de Zoom son los siguientes:

https://cuaieed-unam.zoom.us/j/89946525336
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