Funciones theta en variedades de conglomerado de Poisson

Funciones theta en variedades de conglomerado de Poisson

Dado un carcaj Q, es posible definir para él las variedades de conglomerado $\mathcal{A}_Q$ y $\mathcal{X}_Q$. Estas variedades fueron introducidas por Fock y Goncharov en su artículo Cluster ensembles, quantization and the dilogarithm, estando la $\mathcal{A}$-variedad relacionada con los patrones de conglomerado, y la $\mathcal{X}$-variedad con los patrones $y$, ambos definidos por Fomin y Zelevinsky. Un tema de gran importancia en este contexto ha sido el estudio de funciones globales en dichas variedades, en el cual han sido fundamentales resultados como el Fenómeno de Laurent y diversas relaciones geométricas entre la variedad de conglomerado de Poisson y la variedad $\mathcal{A}_Q^{prin}$.

El principal objetivo de esta charla será mostrar cómo se pueden describir de manera combinatoria las funciones theta en variedades de conglomerado de Poisson de tipo finito (sin direcciones congeladas), en particular, se mostrará el trabajo en progreso realizado con los carcajes de tipo $A_n$. Para lo anterior, se recopilarán algunos resultados notables relacionados a las álgebras de conglomerado, como lo son y-patrones, g-vectores, F-polinomios, entre otros.