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Una forma de entender los Bialgebroides

Ponente: Ramón Abud Alcalá
Institución: Macquarie University
Cuándo 16/01/2015
de 11:00 a 12:00
Dónde Salón 1 (nuevo edificio), Instituto de Matemáticas
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Dado un anillo conmutativo \(k\), una biálgebra \(B\) sobre \(k\) es un \(k\)-módulo con estructuras compatibles de \(k\)-álgebra y de \(k\)-coálgebra.

Los bialgebroides son una generalización de las biálgebras al caso no conmutativo. Una primera definición toma \(R\) una \(k\)-álgebra, no necesariamente conmutatitva, y define un \(R\)-bialgebroide (derecho) es un \(R\otimes Rº\)-bimódulo con estructuras compatibles de \(R\otimes Rº\)-álgebra y de \(R\)-coálgebra (tomando las acciones derechas).

Existen otras definiciones de lo que es un bialgebroide, pero lo que nos va a concernir es verlos como mónadas opmonoidales sobre ciertos objetos en la bicategoría \( \Mod \) de anillos, módulos y morfismos de módulos.

Para entender esta definición y muchos de los conceptos que la rodean generalicé un resultado bien conocido: \emph{Dado un espacio vectorial \(C\), las estructuras de comonoide están en correspondencia biyectiva con las estructuras opmonoidales del funtor \(\xymatrix{\_\otimes C:\Vect\ar[r]&\Vect}\)}, a un contexto en el cual la categoría dominio y codominio son distintas.

Al hablar de bialgebroides lo hacemos en la bicategoría $\Mod=\Mod(\Vect_k)$, esto puede ser generalizado a $\Mod(\mathcal{V})$ para una categoría monoidal cerrada simétrica $\mathcal{V}$ (con coigualadores de pares reflexivos de flechas). En este nivel de generalidad, y mejor dicho en el dual $\Comod(\mathcal{V})$, el concepto de categoría cuántica generaliza el de bialgebroide y el de categoría.