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Cardinalidad de curvas algebraicas sobre campos finitos a través sus torceduras cuadráticas

Ponente: Eduardo Ruiz Duarte
Institución: Universidad de Groninga
Tipo de Evento: Investigación
Cuándo 28/08/2015
de 12:00 a 13:00
Dónde Aula dos del nuevo edificio.
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Saber el número de puntos de una curva algebraica sobre un campo finito \(Fq\) es un problema importante que se ha atacado en las últimas décadas por matemáticos como Helmut Hasse, Andre Weil, Jean Pierre Serré, John Cassels, Yuri Manin, Jaap Top, entre otros, algunas aplicaciones modernas de esto es que la factorización de la cardinalidad del grupo de las variedades abelianas nos dice mucho sobre su seguridad en términos criptográficos vamos a explorar una torcedura cuadrática \(E'\) de una curva elíptica \(E(Fq)\) que es isomorfa a \(Mor_Fq(E,E)\)  donde \(E ~= E'\) vistas como curvas sobre el campo de funciones de \(E\) que denotamos como \(Fq(E)\), es decir sus puntos tienen coordenadas funciones racionales sobre \(E\).
Con esto exploraremos \(End_Fq(E) < Mor_Fq(E,E)~=E'(Fq(E))\) donde usaremos la información del mapeo de Frobenius e Identidad con sus puntos correspondientes en \(E'\) para definir una función con estos puntos con respecto a su aritmética en la curva \(E'(Fq(E))\) que hará el teorema de Hasse fácil de tratar, ya que esta función que definiremos en términos del punto de Frobenius e Identidad en \(E'\) tendrá una representación cuadrática y su discriminante será justamente la desigualdad de Hasse, esta técnica se está extendiendo a género 2 pero con las complicaciones que conlleva la manipulación de los puntos de la jacobiana.
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