Un hermoso resultado de Sylvester y la fórmula de Euler

Si tenemos una cierta cantidad de puntos en el plano que cada que tenemos dos, hay uno tercero sobre su recta, diremos que ese conjunto cumple la propiedad del tercer punto. Un resultado conjeturado por Sylvester en 1983 es que cualquier conjunto finito de puntos con la propiedad del tercer punto cumple que todos sus puntos están en una recta.

Una prueba de este resultado fue dada por Tibor Gallai cuarenta años después. Nosotros daremos la sencillísima y elegante prueba de L. M. Kelly que es una ingeniosa aplicación del principio extremo.

Después hablaremos un poco de la fórmula de Euler, que nos da una relación entre la cantidad de vértices, aristas y caras que tiene una gráfica en el plano. Tras ver algunas de las aplicaciones de este poderoso teorema, regresaremos de nuevo al Teorema de Sylvester-Gallai y a teoremas parecidos.

Se dice que hay un Libro en el cual Dios tiene escritas las pruebas más hermosas de cada teorema matemático.

Paul Erdos, el matemático brillante del siglo 20, era uno de los que creían en El Libro. Él, Martin Aigner y Gunter Ziegler comenzaron a hacer un esbozo de algunas pruebas que podrían formar parte de este libro. Tras la muerte de Erdos, el trabajo fue continuado por Aigner y Ziegler y desembocó en uno de los libros más astutos y sorprendentes: Proofs from the Book.

Este libro es un paseo sensacional por las distintas pruebas de El Libro en temas como Teoría de Números, Análisis, Combinatoria, Probabilidad y Geometría.

La idea de este seminario es exponer varios de los capítulos del libro Proofs from the Book.