Análisis de un operador de transmutación para la ecuación de Schrödinger radial

En esta plática se estudiarán las propiedades de un operador de transmutación para la ecuación de Schrödinger radial

\begin{equation}\label{1}
-\triangle_d u(x)+q(|x|) u(x)=0, \quad x \in \Omega, \hspace{2cm}  (1)
\end{equation}
donde \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\) es un dominio acotado y estrellado con respecto al origen y \(q \in C^1[0, \varrho]\), con \(\varrho=\sup _{x \in \Omega}|x|\). Se analizará el siguiente operador integral (propuesto en [1])
\(
\mathbf{T} h(x)=h(x)+\int_0^1 \sigma^{d-1} G\left(r, 1-\sigma^2\right) h\left(\sigma^2 x\right) d \sigma,\)
y mostraremos algunos resultados obtenidos en [2] acerca de las propiedades analíticas del operador \(\mathbf{T}\), principalmente el hecho de que \(\mathbf{T}\) es un homeomorfismo entre el espacio de funciones armónicas en \(\Omega\), y el conjunto de las soluciones clásicas \(u \in C^2(\Omega)\) de (1). Empleando el operador de transmutación, construiremos un conjunto fundamental de soluciones \(\mathscr{S}\) para (1). Dicho conjunto tiene la propiedad de que cuaquier solución de (1) puede aproximarse en cada compacto de \(\Omega\) mediante combinaciones lineales de \(\mathscr{S}\). Finalmente, analizaremos las propiedades del espacio de Bergman asociado a (1), que consiste de las soluciones clásicas de (1) que pertenecen a \(L_2(\Omega)\), y mostraremos que para el caso cuando \(\Omega\) es una bola, el conjunto \(\mathscr{S}\) es una base ortogonal para el espacio de Bergman.

Referencias

[1] R. P. Gilbert, K. Atkinson, Integral operator methods for approximating solutions of Dirichlet problems. ISMN Vol. 15, Basel: Birkhäuser, 1970.

[2] V. V. Kravchenko, V. A. Vicente-Benıtez, Transmutation operators and complete system of solutions for the radial Schrödinger equation, Math Meth Appl. Sci (2020) 43; 9455-9486.

Este evento será virtual.  La liga de Zoom es:

 Join Zoom Meeting

https://cuaieed-unam.zoom.us/j/89946525336
Meeting ID: 899 4652 5336