Existencia y multiplicidad de soluciones para una ecuación de Choquard indefinida

En esta charla presentaremos resultados de existencia y multiplicidad para la siguiente ecuación de Choquard
\begin{equation*}
- \Delta u - a(x) u + (\log|\cdot|\ast|u|^2)u = 0 \quad \text{en } \mathbb{R}^2,
\end{equation*}
donde \(a \in L^\infty(\mathbb{R}^2)\) es \(\mathbb{Z}^2\)-periodica y \((\log|\cdot|\ast|u|^2)(x) := \int_{\mathbb{R}^2} \log|y-x|u^2(y) dy.\)
Este problema tiene un comportamiento no local causado por la convolución. Este término en la ecuación es delicado ya que el kernel de la convolución cambia de signo. Por otro lado tenemos una ecuación indefinida al permitir que el potencial externo \(a(x)\) cambie de signo.

Nos concentraremos en el caso \(\text{ess sup}_{\mathbb R^2} a > 0\) y veremos que es posible obtener soluciones de energía arbitrariamente grande usando métodos variacionales minimax y analizando la topología del funcional de energía asociado.

Los resultados que discutiremos son una colaboración con la Dra. Silvia Cingolani en la Universidad de Bari y el Dr. Tobias Weth en la Universidad de Frankfurt como parte de mi tesis doctoral.

Este evento será virtual.  La liga de Zoom es:

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