Resultados de regularidad para cuasiminimizadores de una clase de problemas de doble fase

En esta charla, presentamos propiedades locales y globales de integrabilidad superior para cuasiminimizadores de una clase de
integrales de doble fase caracterizadas por condiciones de crecimiento no estándar, en el contexto de un espacio métrico de medida doblante que admite una desigualdad de Poincaré. La principal novedad es el uso de un enfoque intrínseco, basado en una desigualdad de Sobolev-Poincaré de doble fase.

Además, demostramos resultados de acotación, continuidad de Hölder y desigualdad de Harnack para cuasiminimizadores locales de problemas elípticos de doble fase del tipo p-Laplaciano de nuevo en el contexto general de espacios métricos de medida. Las pruebas siguen un enfoque variacional, utilizando el método De Giorgi, un análisis cuidadoso de las fases y estimaciones en las geometrías intrínsecas.

Durante las últimas dos décadas, se ha avanzado significativamente en el desarrollo de una teoría de funciones de Sobolev y cálculo de primer grado en este marco abstracto. La principal motivación detrás de este esfuerzo ha sido construir un marco integral que incorpore las suposiciones y metodologías utilizadas en diversos espacios, como espacios euclideanos con peso, variedades Riemannianas, grupos de Heisenberg, grafos y otros contextos relacionados.

Hoy en día, el análisis en espacios métricos de medida se ha convertido en un campo activo e independiente, atrayendo a investigadores de diversos campos matemáticos. Este enfoque interdisciplinario ha dado lugar a aplicaciones valiosas en campos como la teoría de grupos geométricos, ecuaciones diferenciales parciales no lineales e incluso ciencias de la computación. El estudio de espacios métricos no solo profundiza nuestra comprensión de diversos fenómenos, sino que también abre camino a nuevos e innovadores resultados, incluso en el contexto euclidiano clásico.