Algebras diferenciales tensoriales y funtores de reducción

Sea k un campo algebraicamente cerrado. Una k-algebra tensorial graduada es una algebra tensorial T_{A}(V), en donde los elementos homogéneos de grado cero son los de A y los de grado n son los elementos de V^{\otimes n}. Un álgebra diferencial tensorial (ditalgebra)  consiste de un par U=(T_{A}(V),d) en donde d es una derivación que satisface la regla de Leibnitz esto es d es una k-transformación lineal homogénea de grado 1 y para todo elemento homogéneo   x en T_{A}(V) se tiene d(xy)=d(x)y+(-1)^{grado de x}xd(y) para toda y en

T_{A}(V), además d^{2}=0.  

La categoría U-mod es la categoría cuyos objetos son los A-módulos finitamente generados. Un morfismo f :M—>N consiste de un par de morfismos (f^{0},f^{1}) en donde f^{0} es una k-transformaci’on lineal de M en N, y f^{1} es un morfismo de A-A-bimódulos de V a Hom_{k}(M,N).

Tal que para toda a en A y m en M se tiene 

                     af^{0}(m)=f^{0}(am)+f^{1}(d(a))(m),

    Si f:M—>N, g:N——>L son morfismos gf=(g^{0}f^{0}, (gf)^{1}).

En donde para v en V, y d(v)=v_{1}w_{1}+…v_{n}w_{n},  (gf)^{1}(v)=g^{0}f^{1}(v)+g^{1}(v)f^{0}+g^{1}(v_{1})f^{1}(w_{1}+….+g^{1}(v_{n})f^{1}(w_{n}). 

Por ejemplo si V=0, d=0, T_{A}(V)=A, U-mod =A-mod.

Si U_{1} y U_{2} son ditálgebras un funtor de reducción F:U_{2}-mod —->U_{1}-mod es un funtor aditivo fiel y pleno tal que para todo M en

U_{2}-mod dim_{k}(F(M)) es mayor o igual a la dim_{k}(M).

Veremos en ejemplos sencillos algunos funtores de reducción y una aplicación para algebras de tipo de representación finito. Esto es probaremos que si A es de tipo de representación finito existe una serie de funtores de reducción (en este caso equivalencia de categorías)  que empieza en T_{A}(V)=A y acaba en una ditálgebra de la forma (T_{S}(V),d) con S semisimple básica y d(S)=0. (Bautista-Salmerón (1989)).