Propiedades de finitud de espacios móduli de variedades suaves

El espacio móduli BDiff(M) de una variedad suave M es el espacio que clasifica  haces fibrados con fibra M. Entender su tipo de homotopía es entonces la tarea que tiene todo topólogo interesado en clasificar haces fibrados. Para bien o para mal, estos espacios tienden a ser bastante complicados, por lo cual nos toca conformarnos con tratar de calcular algunos de sus invariantes topológicos. Esto tampoco es tarea fácil, incluso en los casos más simples (eg. M una esfera) son pocas las cuentas que hay disponibles. Sin embargo, hay algo un poco más "cualitativo" que sí se puede afirmar en mucha generalidad: si M es una variedad suave compacta conexa de dimensión par mayor que 5 y con grupo fundamental finito, entonces todos los grupos de homotopía y homología del espacio móduli BDiff(M) son finitamente generados. 

En esta charla voy a discutir algunas de las ideas que M. Krannich, A. Kupers y yo usamos en la demostración de ésta afirmación.