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Amigos, políticos y gráficas molino

Sabemos que en un cierto grupo de personas, cada que tomamos a dos de ellas, tienen exactamente un amigo en común. Veremos que si esto sucede, entonces hay alguien que es amigo de todos.
Ponente:
Cuándo 02/05/2012
de 15:00 a 16:00
Dónde Sala Multimedia, IMATE
Nombre
Teléfono de contacto 5532617715
Asistentes Jesús Martín Caballero Vásquez
Manuel Alejandro Juárez Camacho
Luis Eduardo García Hernández
Leonardo Ignacio Martínez Sandoval
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En esta sesión veremos una solución para el siguiente problema.

Sabemos que en un cierto grupo de personas, cada que tomamos a dos personas, resulta que tienen exactamente un amigo en común.

Formularemos el problema en términos de teoría de gráficas. Resulta que hay gráficas muy sencillas que satisfacen la hipótesis y tienen forma de molinos. Resulta también que estas son las únicas gráficas que cumplen las hipótesis.

Veremos una hermosa demostración de Erdos, Renyi y Sos. Primero pasaremos por un argumento combinatorio para mostrar que en caso de tener un contraejemplo a la proposición, entonces la gráfica contraejemplo tiene que ser regular.

Concluiremos con un argumento de álgebra lineal que usa matrices de incidencia y sus eigenvalores.

Finalmente, hablaremos un poco acerca de la conjetura de Kotzig.

 

Se dice que hay un Libro en el cual Dios tiene escritas las pruebas más hermosas de cada teorema matemático.

Paul Erdos, el matemático brillante del siglo 20, era uno de los que creían en El Libro. Él, Martin Aigner y Gunter Ziegler comenzaron a hacer un esbozo de algunas pruebas que podrían formar parte de este libro. Tras la muerte de Erdos, el trabajo fue continuado por Aigner y Ziegler y desembocó en uno de los libros más astutos y sorprendentes: Proofs from the Book.

Este libro es un paseo sensacional por las distintas pruebas de El Libro en temas como Teoría de Números, Análisis, Combinatoria, Probabilidad y Geometría.

La idea de este seminario es exponer varios de los capítulos del libro Proofs from the Book.