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Jornada de Geometría, Topología y Dinámica

Índice

Sobre la Jornada

La Jornada de Geometría, Topología y Dinámica es un evento de un solo día —nótese que «Jornada» está en singular, salvo en el 2021— con cinco o seis pláticas sobre temas diversos que intenta reunir periódicamente a la comunidad mexicana de gente que trabaja en esas áreas.

La intención de esta página web es guardar un registro de las pláticas que ha habido en el evento.

Séptimas Jornadas

Fecha: 16 y 17 de diciembre, 2021.

Lugar: Ninguno, que idea tan anticuada. Contacta a Jesús Hernández para obtener el vínculo del evento.

Jueves 16 de diciembre

11:00-11:40. Jaime Alejandro García Villeda, IMUNAM-CU.

Modelos de Sullivan y el problema de las geodésicas

En 1975 Sullivan publica un artículo donde inicia su formulación de la homotopía racional, la cual concluiría hasta 1978. Dentro de ese periodo publica, en colaboración con Vigué-Poirrier, un artículo donde dan un resultado acerca de la existencia de geodésicas en variedades Riemannianas compactas y simplemente conexas, el cual se basaba en un resultado de Gromoll y Meyer que aseguraba la existencia de dichas geodésicas cuando se pedía como hipótesis una condición en los números de Betti del espacio de lazos libres de la variedad.

El objetivo de esta charla es presentar los ingredientes que permitan entender el enunciado del teorema de Sullivan y Vigué-Poirrier, así como la relación de este con el teorema de existencia de geodésicas de Gromoll y Meyer.

12:00-12:40. Sandy Guadalupe Aguilar Rojas, CCM.

Grupos relativamente hiperbólicos

Motivados por los grupos hiperbólicos y las propiedades que éstos satisfacen, esta charla pretende introducir una generalización de los mismos.

Los grupos relativamente hiperbólicos fueron definidos por Gromov y su definición ha sido abordada y reformulada por distintos autores, tales como Bowditch, Osin y Farb. El propósito de la charla es abordar las definiciones dadas por estos últimos autores, ver cómo es que se relacionan entre ellas y de qué forma es que cada una generaliza diferentes propiedades de los grupos hiperbólicos.

1:00-1:40. Raquel Perales Aguilar, IMUNAM-Oaxaca.

El mundo de las cotas inferiores de curvatura

En geometría riemanniana se estudian las variedades diferenciales dotadas de una métrica riemanniana; con dicha métrica se define el tensor de curvatura, la curvatura seccional, de Ricci, escalar, entre otras.

En esta plática recordaremos resultados en los que una cota de curvatura inferior es parte de las hipótesis, y veremos que estos se generaliza a espacios métricos con nociones sintéticas de curvatura. En particular, hablaré de una cota para el primer número de Betti.

Viernes 17 de diciembre

11:00-11:40. Alejandro Ucan Puc, Institut de Mathématiques de Jussieu.

¿Cuantas estructuras geométricas (diferentes) admite una variedad compleja?

Motivados por esta pregunta, en esta charla introduciremos los tipos de estructuras geométricas que admite una variedad compleja, así como ejemplos de algunas de estas. Mostraré algunos ejemplos y algunos resultados interesantes.

12:00-12:40. Teresa Hoekstra Mendoza, CINVESTAV.

Espacios de configuraciones de gráficas

El espacio de configuraciones en n puntos de una gráfica es el espacio en el que se pueden mover n puntos sobre una gráfica sin chocar. En esta plática hablaré un poco sobre algunas propiedades de estos espacios como el tipo de homotopía y cómo puede lucir su 1-esqueleto.

1:00-1:40. Christopher Roque Márquez, CCM.

Una representación de Burau para trenzas planas y su polinomio de Alexander

En esta charla introduciremos objetos anudados planos. Construiremos una representación de Burau para unos grupos tipo-trenzas, los llamados twin groups o grupos de trenzas planas; veremos cómo esta representación se relaciona con el álgebra de Hecke, y cómo podemos construir un invariante polinomial para curvas planas sin triples intersecciones.

Sextas Jornadas

Fecha: 25 y 26 de marzo, 2021.

Lugar: Ninguno, que idea tan anticuada. Contacta a Jesús Hernández para obtener el vínculo del evento.

Incluidos en el programa abajo hay dos pláticas adicionales que creemos pueden interesarles a los asistentes.

Jueves 25 de marzo

10:00-11:00. Anne Lonjou, Université Paris–Saclay.

Esta plática es parte del Seminario de Álgebra y Topología del IMUNAM–Cuernavaca. Los interesados deberán contactar a Julie Decaup o a Carlos Cabrera.

Action of the Cremona group on a CAT(0) cube complex.

The Cremona group is the group of birational transformations of the projective plane. Even if this group comes from algebraic geometry, tools from geometric group theory have been powerful to study it. In this talk, based on a joint work with Christian Urech, we will build a natural action of the Cremona group on a CAT(0) cube complex. We will then explain how we can obtain new and old group theoretical and dynamical results on the Cremona group.

11:00-11:10. Bienvenida a las Jornadas.

11:10-11:50. Haydeé Peruyero, IMUNAM–CU.

Sobre las variedades de gráficas de dimensiones superiores (Presentación en PDF)

Comenzaremos definiendo nuestro objeto de estudio, las variedades de gráficas de dimensiones superiores. Presentaremos algunas propiedades de estas variedades y del árbol de Bass-Serre asociado a su cubriente universal para mostrar que si tenemos un isomorfismo entre los grupos fundamentales de dos variedades de gráficas, entonces este isomorfismo preserva la estructura de las variedades. Por último, consideraremos una subfamilia de estas variedades las cuales reciben el nombre de variedades con descomposiciones cuspidales, usando las propiedades del espacio eléctrico asociado a su cubriente universal probaremos que las paredes y cámaras se encajan cuasi-isométricamente en el cubriente universal.

11:50-12:05. Discusión.

12:05-12:45. Diego Corro, IMUNAM-Oaxaca

Geometría y topología local de foliaciones Riemannianas singulares (Presentación en PDF)

En esta plática presentaremos para una foliación singular Riemanniana con hojas cerradas, los invariantes de la foliación que determinan la vecindad tubular de una hoja dada. Veremos el caso concreto de una foliación por toros para ejemplificar estos invariantes. En este caso particular veremos que podemos comparar dos variedades foliadas dadas vía sus espacios de hoja, cuando existe una sección de la proyección de la variedad en el espacio de hojas. A lo largo de la presentación veremos algunos problemas abiertos en la teoría de foliaciones singulares Riemannianas, y presentaremos un par de direcciones de estudio en el estudio de la geometría y topología global de variedades con foliaciones singulares Riemannianas.

12:45-13:00. Discusión.

13:00-14:00. Alexis Zamora, UAZ.

Esta plática forma parte del Coloquio Oaxaqueño del IMUNAM. Los interesados deberán contactar a Lara Bossinger o a Raquel Perales.

Superficies fibradas y su número de fibras singulares

Repasaremos los conceptos fundamentales de geometría algebraica, para luego definir qué es una superficie fibrada. Un problema fundamental de la teoría de superficies fibradas es el estudio del número mínimo de fibras singulares que debe admitir. Daremos un resumen de los principales resultados de esta teoría, incluidas nuestras contribuciones.

Viernes 26 de marzo

11:00-11:10. Bienvenida a las Jornadas.

11:10-11:50. Leonardo Martínez Sandoval, FC–UNAM.

El teorema hipersimplicial de Van Kampen-Flores (Presentación en PDF)

El teorema de Van Kampen-Flores dice no existen funciones e inyectivas del \((d-1)\)-esqueleto del simplejo \(2d\)-dimensional a \(\mathbb{R}^{2(d-1)}\) y que, de hecho, se pueden encontrar simplejos disjuntos de dicho esqueleto cuya imagen se intersecta. Platicaré de un resultado similar para hipersimplejos, pero bajo la restricción de que la función sea lineal. Usaremos técnicas de politopos y de diagramas de Gale.

11:50-12:05. Discusión.

12:05-12:45. Luis Eduardo García, IMUNAM–CU.

Los distintos modelos para el complejo de conmutatividad afín de un grupo (Presentación en PDF)

En esta plática se abordará la construcción del complejo de conmutatividad afín de un grupo teniendo como punto de partida la construcción topológica de este espacio, con base a esto veremos un recorrido por los distintos modelos de este complejo y notaremos un par de situaciones donde podemos decir más de este complejo simplicial.

12:45-13:00. Discusión.

Responsables: Omar Antolín Camarena (IMUNAM–CU), Jesús Hernández Hernández (CCM), y Rita Jiménez Rolland (IMUNAM–Oaxaca)

Quinta Jornada

Fecha: 6 de diciembre, 2019.

Lugar: Instituto de Matemáticas, UNAM, Ciudad de México. Sala Graciela Salicrup.

10:15-11:15. Adolfo Guillot, IMUNAM–CU.

Relaciones entre los multiplicadores en los puntos fijos de transformaciones del plano proyectivo

Para una función de una variedad en sí misma, podemos considerar los valores propios de la derivada en los puntos fijos. Esto da un invariante de conjugación (suave). Cuando la variedad y la función son algebraicos, hay relaciones entre estos números. ¿Cómo son estas relaciones? ¿Podemos darlas todas? ¿Qué tan bien distinguen los valores propios las clases de conjugación? Hablaremos de estas preguntas en el caso del plano proyectivo complejo y de los resultados obtenidos en colaboración con Valente Ramírez.

11:45-12:30. Jaime Calles Loperena, CCM.

Una generalización del problema de Grünbaum—Hadwiger–Ramos

El problema de Grünbaum-Hadwiger-Ramos es un problema clásico de particiones de medidas que ha dado mucho de que hablar dentro de la Geometría Discreta. A grandes rasgos lo que se busca es encontrar la mínima dimensión d en la cual cualquier colección de j medidas admite una equipartición en 2k partes. Una de las cosas más interesantes de este problema es que se ha utilizado herramienta de topología algebraica para darle solución, particularmente sucesiones espectrales.

En esta charla hablaremos del problema en su versión clásica y mostraremos una generalización sustituyendo las medidas por funciones que van de una variedad Grassmaniana al espacio de medidas.

13:00-14:00. Jessie Pontigo, IMUNAM–CU.

Ciclos límite e integrales iteradas

En el estudio de perturbaciones de foliaciones hamiltonianas surge la pregunta de conocer una cota superior para el número de ciclos límite (que se producen al perturbar una familia continua de órbitas periódicas de la foliación hamiltoniana inicial), o bien, de caracterizar aquellas perturbaciones que no rompen las órbitas periódicas. Estos comportamientos están descritos por la función de desplazamiento. En el desarrollo en series de potencia de esta función parecen unas funciones cuyo número de ceros acotan al número de ciclos límite que pueden surgir. Estas funciones están descritas por integrales iteradas y su número de ceros depende de su longitud de iteración. En esta plática veremos que esta longitud depende únicamente de la topología de la fibra regular de la complejificación del hamiltoniano, y de la familia continua de órbitas periódicas iniciales.

14:00-15:30 Comida

15:30-16:15. Andrés Carnero, IMUNAM–CU.

Dominación total y grupos de homología

Dada una gráfica simple G, se le puede asociar un complejo simplicial I(G), el complejo de independencia, donde los simplejos son los conjuntos de vértices sin aristas entre ellos. En esta plática hablaremos de algunas de sus propiedades así como del tipo de homotopía de este complejo para algunas familias de gráficas. Además se hablará de cómo los grupos de homología de este complejo sirven para acotar la dominación total de una gráfica.

16:30-17:30. Ferrán Valdez, CCM.

Construyendo elementos loxodrómicos para acciones de (big) mapping class groups en complejos de lazos

Usando ideas de Thurston veremos como construir elementos loxodrómicos en big mapping class groups respecto a la acción de estos sobre complejos de lazos. Nuestros métodos generalizan una construcción de Thurston (para superficies de tipo finito) y usan el operador de adyacencia en una gráfica infinita.

Responsables: Omar Antolín Camarena (IMUNAM–CU), Jesús Hernández Hernández (CCM), y Rita Jiménez Rolland (IMUNAM–Oaxaca)

Cuarta Jornada

Fecha: 12 de abril, 2019

Lugar: Centro de Ciencias Matemáticas, UNAM campus Morelia. Auditorio CCM-IRYA.

10:15-11:15. Jonatán Torres Orozco, CCM

Estructuras de Poisson de dimensión 3 con singularidades de Bott-Morse

Una estructura de Poisson es un álgebra de Lie sobre una variedad lisa, cuyo corchete de Lie satisface una regla de derivación. Un mecanismo muy claro para obtener ejemplos es a través de la fórmula de Flaschka-Ratiu, y ha sido recientemente explorada para construir estructuras de Poisson con sigularidades. Por otra parte, una foliación de Bott-Morse es una foliación singular de codimensión uno y cuyas singularidades tienen vecindades transversales localmente modeladas por una función de Morse. El objetivo de esta plática es el de presentar la existencia de estructuras de Poisson sobre foliaciones de Bott-Morse en dimensión 3. Adicionalmente damos algunos cálculos de su cohomología de Poisson. Este es un trabajo conjunto con M. Evangelista, P. Suárez-Serrato y R. Vera

11:45-12:30. Paula Cartagena, IMUNAM–CU.

¿Cómo identificar espacios de lazos?

Los espacios de lazos infinitos han sido de gran importancia en la topología algebraica pues, entre otras propiedades, permiten de cierta manera caracterizar las teorías de cohomología y homología, así como los espectros. En esta plática nos preguntamos: ¿qué características debe tener un espacio topológico para ser un espacio de lazos (iterado o infinito)? Primero se definirán cada uno de los conceptos mencionados y se mostrarán algunas propiedades para ilustrar su importancia en la topología algebraica. Luego se responderá a la pregunta anterior usando la geometría interna de dichos espacios y caracterizándolos por medio del Principio de Reconocimiento, presentado por Peter May en 1972, que permite construir un «deslazado» de un espacio de lazos describiéndolos como espacios que tienen una acción libre del «operad de cubitos».

13:00-14:00. Coloquio de Posgrado UMSNH-UNAM. Vladimir Tkachuk, UAM.

Espacios exponenciablemente separables y sus aplicaciones

Un espacio X se llama exponenciablemente separable si para toda familia numerable F de subconjuntos cerrados de X, existe un subconjunto numerable A de X que intersecta a la intersección no vacía de cualquier subfamilia de F. Aunque este concepto parece complicado y artificial a primera vista, mostraremos que surge de manera my natural y tiene muy buenas propiedades categóricas. Veremos, entre otras cosas, que la separabilidad exponencial es invariante bajo imágenes continuas, uniones numerables y subespacios cerrados. Además, cada espacio Lindelof disperso así como cada espacio disperso omega-acotado es exponenciablemente separable mientras que un espacio compacto K es exponenciablemente separable si y sólo si K es disperso.

14:00-15:30 Comida

15:30-16:15. Yesenia Villicaña Molina, CCM - UMSNH.

Cúspides de fibraciones hiperbólicas sobre el círculo con fibra el toro ponchado

Toda 3-variedad hiperbólica no compacta de volumen finito se descompone como unión de una 3-variedad compacta con frontera y una cantidad finita de 3-variedades con frontera llamadas cúspides. Todas las componente frontera que aparecen en esta descomposición son toros cerrados que heredan de la geometría hiperbólica una métrica plana. Las 3-variedades que fibran sobre el círculo con fibra el toro ponchado tienen una sola cúspide y por lo tanto aparece un solo toro plano. Es interesante el problema de caracterizar dichos toros planos. En esta conferencia presentaremos un panorama que permite entender estas 3-variedades fibradas y algunas técnicas que hemos usado al atacar dicho problema.

16:30-17:30. Carlos Cabrera, IMUNAM–Cuernavaca.

Promediabilidad en dinámica holomorfa

Tomar promedios es una herramienta básica en geometría, análisis y teoría de grupos. En esta platica discutimos algunas construcciones de promediabilidad en dinámica holomorfa y promediabilidad en semigrupos.

Responsables: Omar Antolín Camarena (IMUNAM–CU), Jesús Hernández Hernández (CCM), y Rita Jiménez Rolland (IMUNAM–Oaxaca)

Tercera Jornada

Fecha: 26 de noviembre, 2018.

Lugar: Centro de colaboración en matemáticas Samuel Gitler Calle San Borja 938, esquina con Heriberto Frías. Colonia del Valle, Ciudad de México.

9:30-10:30. Bernardo Villarreal, IMUNAM–CU.

Cociclos conmutativos y haces estables sobre superficies

11:00-11:45. Anayeli Tomás Álvarez, IMUNAM–Cuernavaca.

Acciones simpliciales del grupo modular de Teichmüller

12:00-12:45. Inti Cruz, IMUNAM–CU.

Una invitación a la teoría de corrientes

13:00-14:30 Comida

14:30-15:30. Miguel A. Xicoténcatl, CINVESTAV.

Formas modulares y cohomología de espacios clasificantes

16:00-17:00, Manuel Sedano, CCM.

Programa de Zimmer, versión continua

Responsables: Omar Antolín Camarena (IMUNAM–CU), Jesús Hernández Hernández (CCM), y Rita Jiménez Rolland (IMUNAM–Oaxaca)

Segunda Jornada

Fecha: 16 de marzo, 2018

Lugar: Instituto de Matemáticas, UNAM, Ciudad de México. Aula 2, edificio nuevo.

9:30-10:30. Juan Manuel Burgos, CINVESTAV.

Espacio de Teichmüller de la laminación hiperbólica universal

Luego de definir la laminación hiperbólica universal introducida por D.Sullivan, en analogía al modelo de Ahlfors-Bers del espacio de Teichmüller, construiremos un modelo complejo analítico para el espacio de Teichmüller de esta laminación. Introduciremos la métrica de Weil-Petersson renormalizada y por medio de esta probaremos que el encaje de Nag-Verjosky es transversal al Teichmüller en cuestión, como en el caso usual. Como resultado central, daremos una descripción de este espacio como un espacio de funciones y un corolario acerca de espacios moduli de curvas. Finalmente, mostraremos cómo escribir heurísticamente la teoría de cuerdas (bosónicas cerradas) no perturbativa propuesta por Hong y Rajeev como una teoría cuántica de campos en la versión de integral de Feynman. Este trabajo es en colaboración con el Prof.Verjovsky.

11:00-11:45. Johanna Gonzalez, CCM.

Relación entre polinomios complejos, gráficas planas y teselaciones de la esfera de Riemann

Dado un polinomio f de la esfera en la esfera y una curva de Jordan que corre a través de los valores de ramificación de f, el pull back de la curva de Jordan determina una gráfica plana y una teselación de la esfera dominio. La pregunta de interés es, ¿bajo que condiciones una gráfica plana Γ viene de un polinomio genérico f y una curva de Jordan?

12:00-12:45. Noé Bárcenas, CCM.

La signatura no conmutativa y estructuras de gran escala

1:00-2:30 Comida

2:30-3:30. Rita Jimenez, IMUNAM–Oaxaca.

Potencias de la clase de Euler del grupo modular de superficies

4:00-5:00. Ana Rechtman, IMUNAM–CU.

Resultados sobre la existencia de orbitas periodicas para flujos en dimension 3

Responsables: Rita Jiménez (IMUNAM–Oaxaca), Pierre Py (IMUNAM–CU), Ana Rechtman (IMUNAM–CU), y Ferrán Valdez (CCM)

Primera Jornada

Fecha: 10 de octubre, 2017

Lugar: Aula de seminarios IMUNAM–Oaxaca

10:00-11:00. Ferrán Valdez, CCM.

Introducción a superficies planas

11:00-11:30 Receso/Discusión/Preguntas

11:30-12:30. Samuel Lelièvre, Laboratoire de mathématique d’Orsay.

Superficies planas y aplicaciones a problemas de iluminación del teorema de Eskin-Mirzakhani

12:30-13:00. Israel Morales, CCM.

Acciones simpliciales de big mapping class groups

13:00-15:00 Comida

15:00-15:40. Francisco Nicolas

Propiedades de finitud de grupos Kähler

15:40-16:00 Receso/Discusion/Preguntas

16:00-17:00. Pierre Py, IMUNAM–CU

Variedades algebraicas cubulables

Responsables: Rita Jiménez (IMUNAM–Oaxaca), Pierre Py (IMUNAM–CU), Ana Rechtman (IMUNAM–CU), y Ferrán Valdez (CCM)

Omar Antolín Camarena