Instituto de Matemáticas UNAM Unidad Oaxaca
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Posgrado en Matemáticas UNAM y CINVESTAV

martes y jueves, clase 15:30 - 17:00, discusión 17:00 - 17:45, 9 créditos

Resumen

Una matriz se llama totalmente positiva (resp., totalmente no negativa) si todos sus menores (determinantes de submatrices quadradas) son positivos (resp., no negativos). Esta clase de matrices surge y juega un papel importante en varios dominios de las matemáticas, tales como: la teoría de la representación, las álgebras de racimos, la combinatoria, la probabilidad y los procesos estocásticos, la física matemática, por nombrar sólo algunos. El objetivo de este curso es proporcionar una introducción a la positividad total, haciendo énfasis en los aspectos algebraicos, combinatorios y geométricos sobre este tema.

Historia

Las origenes del tema originalmente vienen mucho del la de análisys. Entre los primeros que se dedicaron al estudio de matrices totalmente positivos fue I. J. Schoenberg quien se interesó por el problema de la estimación del número de ceros reales de un polinomio. Lo cual le llevó a sus trabajos sobre las transformaciones de variación decreciente (a principios de los años 30) y las secuencias, funciones y secuencias de frecuencia Pólya (a finales de los años 40 y principios de los 50). Estos, junto con su trabajo sobre splines (años 60 y 70), son temas centrales en la teoría de la positividad total. M. G. Krein llegó a la teoría de la positividad total a través de las ecuaciones diferenciales ordinarias cuyas funciones de Green son totalmente positivas (mediados de los años 30). S. Karlin llegó a la teoría de la positividad total (en los años 50 y 60) a través de la estadística, la teoría de la fiabilidad y la economía matemática.

Actualidad

Más recientemente (a partir de los años 90) el estudio de las matrices totalmente positivos se enfocó en preguntas de parametrizar el conjunto de las matrices totalmente positivas y en proporcionar pruebas eficaces para certificar la positividad de una matriz. Como en muchos aspectos de matemáticas, este cambio de punto de vista a las matrices totalmente positivas fue muy fructífero en el sentido que se abrieron nuevos campos de investigación. A partir del trabajo de Fomin y Zelevinsky, los aspectos combinatorios y algebraicos (incluyendo la geometría algebraica) se volvieron centrales en el tema. Nuestro enfoque se encuentra en esta visión más moderna al tema, donde las permutaciones, las redes planas (ciertas gráficas dirigidas planas) y las Grassmannianas juegan un papel importante.

Temario

  1. Gráficas dirigidas, diagramas de trenzas, determinantes
  2. Identidad de Sylvester, formula de Jacobi, relaciones de Plücker,
  3. matrices totalmente positivos/no-negativas y sus descomposiciones
  4. Teorema de Loewner-Whitney
  5. El grupo simétrico y descomposiciones reducidas
  6. Tablas de Young, gráficas y redes
  7. El Lema de Lindström--Gessel--Vinneot

Bibliografía

  1. Fomin, S. y Zelevinsky, A.: Total positivity: tests and parametrizations, Math. Intelligencer 22 (2000), arXiv
  2. Lusztig, G.: Introduction to total positivity, de Gruyter Exp. Math. 26 (1998)
  3. Pinkus, A.: Totally Positive Matrices, Cambridge University Press (2009)
  4. Postnikov, A.: Total Positivity, Grassmannians, and networks, Link
  5. Federico Ardila, Emerson Leon, Mercedes Rosas y Mark Skandera: Tres lecciones en combinatoria algebraica. I. Matrices totalmente no negativas y funciones simétricas, arXiv
  6. Ivica Martinjak y Riste Skrevkocski. Lah numbers and Lindström's lemmalink
  7. Pavel Galashin, Steven N. Karp y Thomas Lam. The totally nonnegative Grassmannian is a ball. Adv. Math., 397:Paper No. 108123, 23, 2022.
  8. W. Böhm and S. G. Mohanty. On the Karlin-McGregor theorem and applications. Ann. Appl. Probab., 7(2):314–325, 1997.
  9. David Speyer y Lauren Williams. The tropical totally positive Grassmannian. J. Algebraic Combin., 22(2):189–210, 2005
  10. Federico Ardila, Felipe Rincón y Lauren Williams. Positroids and non-crossing partitions. Trans. Amer. Math. Soc., 368(1):337–363, 2016
  11. Sergey Fomin, Pavlo Pylyavskyy, Eugenii Shustin, Dylan Thurston. Morsifications and mutations. arXiv

Calendario

Tareas

  1. Todas las tareas de los apuntes del 2 al 28 de febrero. Entrega: 3 de marzo, disución: 9 de marzo
  2. Todas las tareas de los apuntes del 2 al 28 de marzo. Entrega: 31 de marzo, discusión: 11 de abril
  3. Todas las tareas de los apuntes del 30 de marzo al 27 de abril. Entrega: 5 de mayo, discusión 11 de mayo

Proyectos

  1. Los números de Lah y Stirling y su interpretación en la positividad total, Martinjak-Skrevkocski (combinatoria enumerativa)
  2. Proceso de nacimiento y muerte y la positividad total de las funciones de transición, Böhm-Mohanty (probabiliodad/procesos de Markov), Victor
  3. La Grasmmanniana totalmente no negativa es homeomorfa a una bola cerrada, Galashin-Karp-Lam (combinatoria topológica)
  4. La Grassmanniana tropical totalmente positiva, Speyer-Williams, (geometría tropical)
  5. Positroides y particiones que no se crucen, Ardila-Rincón-Williams (combinatoria algebraica y probabilidad libre), Jorge
  6. Lazos obtenidos de graficas plabic, capitulo 9 en Fomin-Pylyavskyy-Shustin-Thurston (teoría de nudos), Juan Daniel