Omar Antolín Camarena

Higher generation by abelian subgroups in Lie groups con Simon Gritschacher y Bernardo Villarreal.

A un grupo de Lie compacto se le puede asociar un espacio \(E(2,G)\) similar al conjunto parcialmente ordenado de clases laterales de subgrupos abelianos de un grupo discreto. Adem, F. Cohen y Torres Giese introdujeron el espacio \(E(2,G)\) y fue estudiado después por Adem y Gómez y por otros autores. En esta nota breve, demostramos que \(G\) es abeliano si y solo si \(\pi_i(E(2,G))=0\) para \(i=1,2,4\). Esto es un análogo para grupos de Lie del hecho de que el conjunto parcialmente ordenado de clases laterales de subgrupos abelianos de un grupo discreto es simplemente conexo si y solo si el grupo es abeliano.

The Complex of Affinely Commutative Sets con Bernardo Villarreal.

Demostramos que para algunas clases de grupos \(G\), la fibra homotópica \(E_{\mathrm{com}} G\) de la inclusión del espacio clasificante para conmutatividad \(B_{\mathrm{com}} G\) en el espacio clasificante \(BG\), es contraíble si y sólo si \(G\) es abeliano. Lo demostramos tanto para grupos de Lie compactos y conexos, como para grupos discretos. Para probar esos resultados, definimos una aplicación interesante \(\mathfrak{c} \colon E_{\mathrm{com}} G \to B[G,G]\) y probamos que no es homotópicamente nula para los grupos no abelianos en esas clases. También mostramos que \(\mathfrak{c}\) es 3-conexa para \(G = O(n)\) si \(n \ge 3\).

Classifying spaces for commutativity of low-dimensional Lie groups con Simon Gritschacher y Bernardo Villarreal.

Para cada uno de los grupos \(G = O(2), SU(2), U(2)\), calculamos los anillos cohomología enteros y con coeficientes en \(\mathbb{F}_2\) de \(B_\text{com} G\) (el espacio clasificante para conmutatividad de \(G\)), la acción del álgebra de Steenrod sobre la cohomología mod 2, el tipo de homotopía de \(E_\text{com} G\) (la fibra homotópica de la inclusión \(B_\text{com} G \to BG\)), y algunos grupos de homotopía en dimensiones bajas de \(B_\text{com} G\).

The mod 2 homology of free spectral Lie algebras.

Las derivadas de Goodwillie del funtor identitidad en espacios basados forman un óperad \(\partial_{\ast}(\mathrm{Id})\) en espectros. Adaptando una definición de Behrens, introducimos operaciones en la homología mod 2 de álgebras sobre dicha óperad y demostramos que estas operaciones generan todas la homología de álgebras libres sobre espectros de suspensión de espacios simplemente conexos.

Nilpotent \(n\)-tuples in \(SU(2)\) con Bernardo Villarreal.

Describimos las componentes conexas del espacio de homomorfismos \(\mathrm{Hom}(\Gamma,SU(2))\) para un grupo discreto nilpotente \(\Gamma\). Las components conexas que corresponden a homomorfismos con imagen no abeliana resultan ser homeomorfas a \(\mathbb{RP}^3\). Hacemos cálculos explíctos en el caso en que \(\Gamma\) es un grupo nilpotente libre finitamente generado. En la segunda parte del artículo estudiamos la filtración \(B_{\text{com}} SU(2)=B(2,SU(2))\subset\cdots \subset B(q,SU(2))\subset\cdots\) del espacio clasificante \(BSU(2)\) (introducida por Adem, Cohen y Torres Giese), mostrando que para toda \(q\geq 2\), las inclusión induce induce un isomorfismo en homología con coeficientes en un anillo en el que 2 es invertible. La mayor parte de los cálculos los hacemos para \(SO(3)\) y \(U(2)\) también.

A simple universal property of Thom ring spectra con Tobias Barthel.

Damos una propiedad universal simple de la estructura multiplicativa del espectro de Thom de una aplicación \(n\)-uple de lazos, obtenida como caso particular de una caracterización de la estructura de álgebra sobre el colímite de un funtor \(\mathcal{O}\)-monoidal laxo. Esto nos permite relacionar espectros de Thom con álgebras \(\mathbb{E}_n\) de una característica dada en el sentido de Szymik. Como aplicaciones recuperamos el teorema de Hopkins–Mahowald que realiza a \(H\mathbb{F}_p\) como espectro de Thom y calculamos la homología de Hochschild topológica y el complejo cotangente de varios espectros de Thom.

Chromatic fracture cubes con Tobias Barthel.

En esta nota, construímos una forma general del cubo de fractura cromática, usando una caracterización conveniente de la fibra homotópica total, y deducimos una descomposición de la categoría homotópica estable \(E(n)\)-local.

Corrigendum to «Groupoids, the Phragmen-Brouwer Property, and the Jordan Curve Theorem», J. Homotopy and Related Structures 1 (2006) 175-183 con Ronald Brown.

Encontré un pequeño hueco en la demostración de Ronald Brown del Teorema de la Curva de Jordan, relacionada con la propiedad de Phragmen–Brouwer; esta nota da una corrección en términos de un resultado sobre coproductos amalgamados de grupoides, y un poco de antecedentes adicionales.

Crystallographic Interacting Topological Phases and Equivariant Cohomology: To assume or not to assume with Daniel Sheinbaum.

Derivamos una clasificación bajo evolución adiabática de sistemas cristalinos con interacción que poseen simetría simórfica y separación de energía. La clasificación es completa cuando el estado base es no degenerado y solo parcial en el caso degenerado. No suponemos que hay una teoría de campo relativista ni que las fases forman un espectro en el sentido de la topología algebraica. Usando una descomposición de Bloch ligeramente generalizada (sin cuasi-partículas) y Grassmanianas asociadas a los espacios de estados bases, mostramos que la cohomología \(P\)-equivariante del toro de dimensión \(d\) da lugar a fases diferentes con interacción. Discutimos la relación de nuestras suposiciones con aquellas que se hacen para fases protegidas o enriquecidas por la simetría.

Topology of Fermi Surfaces and Anomaly Inflows con Alejandro Adem, Gordon W. Semenoff, Daniel Sheinbaum.

Derivamos una clasificación rigurosa de superficies de Fermi estables de sistemas sin interacciones e invariantes bajo un grupo discreto de traslaciones provenientes de la teoría de bandas electrónicas; discutimos la evolución adiábatica y su interpretación topológica. Para sistemas con condiciones de frontera Born-von Karman mostramos que solo puede haber superficies de Fermi inestables. Para sistemas en un semi-espacio con «gapped bulk», nuestra derivación naturalmente produce una clasificación en términos de teoría K. Dada la superficie de Brillouin de dimensión (d-1) \(X_s\) de un semi-espacio de dimensión d, nuestro resultado implica que diferentes clases de superficies de Fermi estables globales se clasifcan por medio de \(K^{−1}(X_s)\) en el caso de sistemas invariantesbajo traslaciones en un grupo discreto. Este resultado tiene una interpretación en términos de anomalías de flujo quirales, porque se reduce al flujo espectral si \(d=2\). A través de métodos de homotopía equivariante, extendemos esos resultados a las clases de simetría AI, AII, C y D, y discutimos su correspondiente interpretación en términos de anomalías de flujo.

Nilspaces, nilmanifolds and their morphisms con Bálazs Szegedy.

Desarrollos recientes en la teoría ergódica, la combinatoria aditivas, el análisis de Fourier de orden superior y la teoría de números le han dado un papel central a una clase de estructuras algebraicas conocidas como nilvariedades. En este artículo continuamos una programa inciado por Host y Kra. Definimos unas estructuras que llamamos nilespacios que satisfacen una variante de los axioms de Host y Kra para estructuras de paralelpípedo. Damos un análisis estructural detallado de nilespacios abstractos y nilespacios topológicos compactos. Entre otros resultados probamos que los nilespacios compactos son límites inversos de nilespacios compactos de dimensión finita. Luego mostramos que los de dimensión finita compactos y conexos son nilvariedades. La teoría de nilespacios compactos es una generalización de la teoría de grupos abelianos compactos. Este artículo proporciona la principal herramienta algebraica que usa el segundo autor en su enfoque a las normas de uniformidad de Gower’s y el análisis de Fourier de orden superior.

Positive graphs con Endre Csóka, Tamás Hubai, Gábor Lippner, László Lovász.

Estudiamos gráficas «positivas» que tienen número de homomorfismo no negativo hacia todas las gráficas con aristas ponderadas (incluso permitiendo aristas de peso negativo). Conjeturamos que todas las gráficas positivas se pueden obtener tomando dos copias de una gráfica simple arbitraria y pegándolas a lo largo de un conjunto independiente de vértices. Demostramos la conjetura para varias clases de gráficas incluyendo todos los árboles. Probamos también varias propiedades de las gráficas positivas, como el hecho de que tienen una imagen homomorfa que tiene al menos la mitad de los vértices originales pero en la que cada arista tiene un número par de preimágenes. Esos resultados, combinados un programa de computadora, implican que la conjetura es cierta para todas las gráficas de hasta 9 vértices.

Computing arithmetic invariants for hyperbolic reflection groups con Gregory R. Maloney, Roland K. W. Roeder.

Describimos un programa de computadora escrito en PARI/GP para calcular los invariantes de conmensurabilidad de grupos de reflexiones determinados por políedros de volumen finito en \(\mathbb{H}^3\) conocidos como el campo invariante de trazas y la álgebra cuaterniónica invariante. Nuestro programa también permite determinar la aritmeticidad de tales grupos y la clase de isomorfismo del álgebra cuaterniónica invariante analizando su ramificación. Presentamos muchos ejemplos de estos invariantes. Eso basta para probar que la mayor parte de los grupos que consideramos son incomensurables dos a dos. Para parejas de grupos con los mismos invariantes no todo está perdido: si ambos son aritméticos, tener los mismos invariantes, garantiza la conmensurabilidad. Descubrimos varias parejas conmensurables «inesperadas» de esta forma. Presentamos también un par no aritmético con los mismos invariantes, para el cual no podemos determinar la conmensurabilidad.

A Whirlwind Tour of the World of (∞,1)-categories.

La intención de esta introducción a la teoría de categorías superiores es darle al lector una intuición acerca de qué son las (∞,1)-categorías, cuando son una herramienta apropiada, como encajan en el panorama de las categorías superiores, cómo conceptos de la teoría ordinaria de categorías se generalizan a este nuevo contexto, y qué usos les ha dado la gente. Es una guía a un terreno vasto, se enfoca en las ideas y la motivación, omite casi todas las demostraciones y detalles técnicos, e incluye muchas referencias.

On a Theorem of Kas and Schlessinger con Sarah Koch.

Este es un artículo expositorio sobre la construcción de Kas y Schlessinger de una espacio de deformación versal para un espacio analítico que es localmente una intersección completa. Este resultado tiene sabor de geometría algebraica, pero no suponemos ninguna familiaridad con conceptos de esa rama tales como morfismos planos o esquemas no reducidos. Es más, esperamos que este artículo sirva como introducción a esas ideas para geómetras que necesitan tratar con espacios analíticos.

The van Kampen theorem.

La versión del teorema de van Kampen para el groupoide fundamental y aplicaciones, incluyendo la elegante prueba de Ronnie Brown del Teorema de la Curva de Jordan.

Matroides Críticamente Conexos.

Mi tesis de licenciatura.

Minicurso sobre teoría de homotopía estable, Pre-escuela CIMPA El Salvador 2020

Videos: Part 1, Part 2, Part 3

IMATE-UNAM en CU, semestre 2018-2, Minicurso de Geometría Algebraica Derivada.

Videos: Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 4, Parte 5, Parte 6.