Instituto de Matemáticas UNAM Unidad Oaxaca
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Martes 15:00 - 16:30 y miércoles 14:45 - 16:15 (horario CDMX), martes agosto 9 2022 hasta miércoles noviembre 23 2022,
dias de descanso jueves 15 de septiembre y martes 1 de noviembre, cambio de horario (-1 hr) en México 30 de octubre 2022
Resumen
Las variedades tóricas son objetos populares en la geometría algebraica porque
existe un diccionario entre sus propiedades geométricas (por ejemplo, su dimensión
o su grado) y las propiedades de los objetos combinatorios asociados (por ejemplo, los politopos
o los abanicos). Muchas teorías y programas en la geometría algebraica y
simpléctica se exploran y prueban en variedades tóricas pues estas variedades
se entienden muy bien. Si nos interesa otra variedad que no es tórica es deseable acercarse
lo más posible a las variedades tóricas: por ejemplo, se buscan degeneraciones
tóricas de la variedad. Una degeneración tórica es una familia (plana)
de variedades que comparten muchas propiedades (por ejemplo, su dimensión,
su grado y su polinomio de Hilbert son iguales). Esta familia contiene a la variedad que
nos interesa y a una variedad tórica. Por lo tanto, algunas propiedades de nuestra
variedad se pueden leer de la combinatoria de la variedad tórica.
Ejemplo: Consideramos la Grassmanniana Gr(2,4) definida por la ecuación
p1p6 + p3p4 = p2p5 en el espacio proyectivo complejo CP5. La variedad definida por la ecuación
p1p6+tp3p4 = p2p5 en CP5 -> C determina una familia (plana) de variedades en CP5.
Es una degeneración tórica de Gr(2, C4): establecer t = 1 produce Gr(2,4) y
establecer t = 0 produce la variedad tórica definida por la ecuación p1p6 = p2p5 en CP5.
El estudio de las degeneraciones tóricas tiene varias aplicaciones en las matemáticas
puras y aplicadas. Por ejemplo hay aplicaciones en la simetría especular, la estadística
y la biología matemática.
Contenido del curso
Las degeneraciones tóricas de una variedad proyectiva se pueden construir desde varios puntos
de partida. Nos vamos a enfocar en dos construcciones algebraicas: primero, utilizando las degeneraciones
iniciales de un ideal como aparecen en la teoría de Gröbner y en la geometría tropical;
y segundo, desde valuaciones en anillos graduadas y los cuerpos de Newton-Okounkov asociados.
Resulta ser que ambos construcciones son relacionadas y existen traducciones de una a otra.
Las variedades que aparecen en la teoría de representaciones pueden considerarse como
un terreno fértil de ejemplos para estudiar diferentes técnicas para la
construcción de degen- eraciones tóricas. Aquí se cruzan tres campos
principales: la teoría de representaciones, la geometría tropical y la teoría de
las álgebras de conglomerado. Las tres se pueden aplicar a estas variedades y producen
degeneraciones tóricas con los datos combinatorios asociados que codifican propiedades
geométricas. Si el tiempo lo permite vamos a ver ejemplos desde la teoría de
representaciones y las álgebras de conglomerado.
Requisitos
Álgebra moderna y geometría algebraica.
Temario
- Preparación
- Politopos
- Variedades tóricas
- Construcciones de degeneraciones tóricas
- Ideales iniciales y familias planas
- Valuaciones y sus álgebras asociadas graduadas
- Politopos de Newton-Okounkov
- Resultados y ejemplos
- Teoremas estructurales
- Ejemplos de la teoría de representaciones
Calendario
- agosto 9: Variedades afines, capítulo 1.0. de [CLS11]
- agosto 11: Variedades tóricas afines, capítulo 1.1. de [CLS11]
- agosto 16: Conos y variedades tóricas afines, capítulo 1.2. de [CLS11], slides
- agosto 18: Variedades proyectivas, capítulo 2.0. de [CLS11], slides
- agosto 23: Variedades tóricas proyectivas, slides
- agosto 24: Propiedades de variedades tóricas proyectivas, slides
- agosto 30: Familias planas, slides, video
- agosto 31: Discusión de la Tarea I y los proyectos
- septiembre 6: Bases de Gröbner, slides, video
- septiembre 7: Algoritmos de división y de Buchberger, slides, video
- septiembre 13: Degeneraciones de Gröbner, slides
- septiembre 14: El abanico de Gröbner slides
- septiembre 20: La tropicalización de un ideal slides
- septiembre 21: Calcular la tropicalizaci&oacutu;n de un ideal slides, fecha de entrega de la Tarea II
- septiembre 27: Taller de CMO
- septiembre 28: Taller de CMO
- octubre 4: Discusión de la Tarea II y los proyectos
- octubre 5: Cuerpos de Newton-Okounkov, slides
- octubre 11: Valuaciones, filtraciones, graduaciones, slides, video
- octubre 12: Álgebra de Rees y degeneración torica, slides,video
- octubre 18: Prueba de la degeneración de Anderson, slides, video
- octubre 19: Fecha de entrega de la Tarea III
- octubre 25: La teoría de Gröbner de rango mayor, slides, video
- octubre 26: Discusión de la Tarea III y los proyectos, soluciones de la tarea III
- noviembre 1: día de los muertos
- noviembre 2: día de los muertos
- noviembre 8: Bases de Khovanskii, casivaluaciones de matrices de peso slides
- noviembre 9: Casivaluaciones de matrices de peso, bases adaptadas de monomios estándar, slides
- noviembre 15: Taller híbrido Newton-Okounkov bodies and tropical geometry
- noviembre 16: Taller híbrido Newton-Okounkov bodies and tropical geometry
- noviembre 22: Clasificación de degeneraciones tóricas k*-equivariantes, slides, video
- noviembre 23: Presentación del Proyecto 3
- noviembre 29: Resumen de aplicaciones, slides
- diciembre 5 - 9: BIRS-taller híbrido Toric Degenerations
Proyectos finales
En la última semana del semestres las y los estudiantes presentan sus proyectos finales.
Pueden escoger de los siguientes o sugerir un proyecto individual:
- Proyecto 1: Aplicaciones de degeneraciones tóricas en la literatura, PDF
- Proyecto 2: La parte positiva de la variedad de bandera tropical, PDF
- Proyecto 3: Formulas de cruce de paredes para politopos de Newton-Okounkov, PDF
Bibliografía
- [Z95]
Ziegler, Günter M.
Lectures on polytopes.
Graduate Texts in Mathematics, 152. Springer-Verlag, New York (1995)
- [CLS11]
Cox, D., Little, J. y Schenck, H.
Toric varieties.
Graduate Studies in Mathematics, 124. American Mathematical Society, Providence, RI (2011)
- [KK12]
Kaveh, K. y Khovanskii, A.
Newton-Okounkov bodies, semigroups of integral points, graded algebras and intersection theory.
Ann. of Math. (2) 176 (2012)
- [KM19]
Kaveh, K. y Manon, C.
Khovanskii bases, higher rank valuations, and tropical geometry.
SIAM J. Appl. Algebra Geom. 3 (2019)
- [KMM]
Kaveh, K. y Manon, C. y Murata, T.
On degenerations of projective varieties to complexity-one T-varieties.
arXiv:1708.02698 [math.AG]
- [B21]
Bossinger, L.
Full-rank valuations and toric initial ideals.
Int. Math. Res. Not. IMRN (2021)