Instituto de Matemáticas UNAM Unidad Oaxaca
León 2, altos, Oaxaca de Juárez
Centro Histórico
68000 Oaxaca, Mexico.

Office: sede Martires de Tacubaya 505a
Email: lara (at) im.unam.mx



Descripción del curso


Objetivo general: Introducir al alumno en la Geometría Algebraica moderna. Se presentan los elementos fundamentales que permiten el desarrollo de la herramienta necesaria y que abarcan el Álgebra Conmutativa, Geometría afín y proyectiva.

Objetivos específicos: Brindar al alumno el conocimiento suficiente para el uso que se hace de la Geometría Algebraica en otras áreas, o para abordar cursos avanzados y seminarios especializados en el área.

Temario

  1. Variedades afines [Smith]
    1. Subvariedades afines y topología de Zariski
    2. Ideal asociado a una subvariedad afín
    3. Irreducibilidad
    4. El Nullstestellensatz [Cox]
    5. El anillo de coordenadas
    6. Aplicaciones regulares
    7. Equivalencia entre variedades afines y k-álgebras finitamente generadas reducidas
    8. Dimensión de Krull y el grado de trascendencia del campo de funciones de la variedad [Kemper]
  2. Variedades proyectivas
    1. Definición del espacio proyectivo
    2. Variedades proyectivas
    3. Ideal asociado a una variedad proyectiva
    4. El Nullstellensatz proyectivo
    5. Cerradura proyectiva, homogeneización
    6. Aplicaciones regulares. Aplicaciones racionales. Campo de funciones racionales
  3. Ejemplos y construcciones
    1. Espacios lineales, hipersuperficies e intersecciones completas
    2. La cúbica alabeada
    3. Producto de variedades. Ejemplo: la imagen de P 1 x P 1 en P 3
    4. Encaje de Segre, Ejemplos
    5. Aplicación de Veronese, Ejemplos
    6. Explosión de la curva nodal en P 2
    7. Proyecciones
  4. Propiedades locales
    1. Anillo local de gérmenes de funciones regulares
    2. Espacio tangente de Zariski
    3. Puntos lisos y puntos singulares. Criterio Jacobiano. Ejemplos
    4. Teorema de Bézout para curvas planas, multiplicidad de intersección

Bibliografía

Calendario